Üçgensel Sayı Nedir?
1’denn‘ye kadar olan ardışıkntane doğal sayının toplamı şeklinde yazılabilen sayılara “üçgensel sayı” denir. Bu sayılara üçgensel sayı denmesinin sebebi ise sayının değeri kadar olan nokta ile eşkenar bir üçgen oluşturulmasıdır.
Yukarıdaki şekilde görüldüğü üzere, birinci üçgensel sayı 1‘dir. İkinci üçgensel sayı, tabanında iki nokta bulunan eşkenar bir üçgendeki nokta sayısıdır, yani 3‘tür. Üçüncü sıradaki üçgensel ise ikinci sıradaki üçgenin tabanına üç yeni noktanın eklenmesiyle oluşur. Bu durumda üçüncü üçgensel sayı 6‘dır. Şekildeki her üçgen kendisinden önce gelen üçgenin tabanına yeni bir sıra eklenmesiyle oluşur. Yeni eklenen sıradaki nokta sayısı ise bir önceki üçgenin tabanında bulunan nokta sayısından her zaman bir fazladır.
Üçgensel sayıların eşkenar üçgen temsillerindeki nokta sayısı yukarı doğru çıkıldıkça birer birer azalır ve tepede tek nokta kalana kadar devam eder. Bu yüzdenn.üçgensel sayı için gerekli olan toplam nokta sayısı 1‘denn‘ye kadar olan sayıların toplamı kadardır. Yanin. üçgensel sayıTniseTn=n+(n-1)+…+3+2+1‘e eşittir. Kısaca
formülüyle bulunabilir.
Bu formülün kolay bir ispatı vardır.Tnsayısını iki farklı şekilde yazmaya ve bu ikiTnsayısını terim terim toplamaya dayanan ispat aşağıdaki gibidir.
Ardışık herhangi iki üçgensel sayının toplamı her zaman tam kare bir sayıya eşittir. Örneğin birinci ve ikinci üçgensel sayıların toplamı 4‘e, ikinci ve üçüncü üçgensel sayıların toplamı ise 9‘a eşittir. Bunu ardışık herhangi iki üçgensel sayının eşkenar üçgen temsillerini aşağıdaki gibi birleştirerek de görebilirsiniz.
n. ven+1 .üçgensel sayıların toplamını matematiksel olarak ifade edersek;
olur.
Ayrıca her çift mükemmel sayı da bir üçgensel sayıdır. Mükemmel sayıların hangileri olduğunu ise daha öncekiyazımızdaaçıklamıştık.
Üçgensel sayılar günlük hayatta da karşımıza çıkar. Örneğin her takımın birbiriyle sadece bir kez karşılaşacağı bir spor turnuvasında takımların yapacağı maç sayısı veya bir toplulukta bulunan tüm insanların birbirleriyle toplam tokalaşma sayısı da her zaman bir üçgensel sayıdır.