Hayatımız Problem!

Hayatımız Problem!

Matematik problemsiz olmaz, tıpkı hayat gibi. Bu cümleden ne anlıyoruz? Matematiğin başımıza dert olduğunu mu? Matematikte karşımıza çıkan problemlerin günlük hayatta karşılaştığımız problemlerden farkı nedir?

“

Problem denince aklıma ilk gelen -matematiği çok sevdiğim için- matematik problemleri oluyor. Öğrenci olduğumuz zamanlardan beri karşımıza çıkan bazı meşhur problem türleri var: havuz problemleri, işçi problemleri, yaş problemleri, dört işlem problemleri… Günümüzde bunlara yenileri eklendi. Geçenlerde internette dolaşırken ilk defa mum problemleri ve kuyruk problemleri gibi değişik türde problemler gördüm. Nedir bu havuzlardan çektiğimiz? Ya da havuzların bizden çektiği? Neden bir musluk havuzu doldururken diğer taraftan havuzu boşaltmaya çalışırız mesela? Ya da 3 kişinin 5 günde ancak yapabildiği işi neden tek bir işçiye daha uzun sürede yaptırmak isteriz? Aslında bu tür problemlerin hepsinin arkasında bir matematiksel fikir var. Örneğin havuz ve işçi problemleri ters orantı kavramı ile ilgilidir. Yaş problemleri -hani şu “Annenin yaşı kızının yaşının 2 katının 10 fazlasıdır.” benzeri ifadeler içeren sorular- cebirsel ifade yazma ve denklem kurma becerisini geliştirme-ölçme amacı taşır. Bu tür sorularda sürekli benzer bağlamlar (soru hikâyesi) kullanılınca artık bu adlarla anılmaya başlandılar. Böyle çok sayıda örnekle karşılaşmış biri için problem çözümünde izlenecek yol bellidir; sadece bildiği bir yöntemi problem şartlarına uyarlaması gerekecektir. Bu tür problemleri “rutin” veya “sıradan” problemler olarak adlandırabiliriz.

“

“

Her ne kadar problem çözerken izleyeceğim yolu kendim belirlemek istesem de probleme yaklaşımımda bazı stratejiler (taktikler) kullanmak işime yarıyor. İki matematik eğitimcisi Alfred Posamentier ve Stephen Krulik tarafından önerilen problem çözme stratejileri şunlardır:

• Geriye doğru çalışma

• Örüntü/bağlantı bulma
• Farklı bir bakış açısı benimseme
• Benzer, daha basit bir problem çözme
• Özel/uç durumları göz önünde bulundurma

• Görsel temsil kullanma (resim/diyagram çizme)
• Akıllı tahmin ve kontrol yapma
• Tüm durumları listeleme

• Verileri düzenleme

• Mantıksal akıl yürütme

Problem çözerken çeşitli aşamalarda bu stratejilerden bir veya birkaç tanesini kullanabiliriz. Örneğin problemi daha iyi anlayabilmek için bir şekil çizebiliriz veya problemdeki verileri bir tablo yardımıyla düzenleyebiliriz. Çözüm aşamasında olası durumları sistematik bir şekilde listelemek örüntüleri daha rahat görmemizi sağlayabilir.

Şimdi örnek problemler üzerinde çalışalım.

‘

Burada okumaya devam etmeden önce problem üzerinde düşünmenizi rica ediyorum.

“

Siz de bu şekilde mi çözdünüz problemi yoksa farklı bir yol mu izlediniz?

Problem 2: Komşu iki kenarının uzunlukları 10 ve 8 birim olan bir dikdörtgen ile 6 ve 8 birim olan ikinci bir dikdörtgen düşünelim. Bu dikdörtgenler bir kısımları üst üste gelecek şekilde yerleştiriliyor. Aşağıdaki şekilde örnek bir durum gösterilmiştir. İki dikdörtgende üst üste gelmeyen bölgelerin alanlarının farkı kaçtır?

Burada okumaya devam etmeden önce problem üzerinde düşünmenizi rica ediyorum.

“

1. durum

İkinci uç durumumuz küçük dikdörtgenin tamamen birincinin üzerinde olması. Yani bu kez oluşabilecek en büyük ortak alana bakıyoruz. Bu da küçük dikdörtgenin alanına eşit. O zaman ortak olmayan alanlar birinci dörtgen için 80-24, ikincisi için 0 olacak. Ortak olmayan alanların farkı da yine 56 çıkacak.

Acaba her durumda sonuç iki dikdörtgenin alanlarının farkı mı çıkacak dersiniz?

Şimdi başka bir duruma bakalım. Ortak alan 1 birimkare olsun. O zaman ortak olmayan alanların farkı

(80-1)-(24-1)=56 olur. Sonuç yine aynı çıktı. Aslında ortak alanın büyüklüğü ne olursa olsun, ortak olmayan alanların farkı aynı çıkıyor. Bunun sebebi de iki alandan aynı miktarı çıkarıp sonra fark almamız.

İlk durumda iki alandan da 0 çıkardık, ikinci durumda küçük dörtgeninin alanı olan 24 çıkardık. Bunlar iki uç durumumuzdu. Bu bize çözüm hakkında bir fikir verdi. Ortak alanımız A olursa (80-A)-(24-A)=80-A-24+A=80-24=56 sonucunu elde ederiz. Demek ki ortak alanın büyüklüğü sonucu değiştirmiyor.

2. durum

Peki size bir soru: Eğer bu problemdeki şekil dikdörtgen yerine üçgen veya daire olsaydı çözüm nasıl olurdu?

Bu yazımda matematik problemlerine farklı bir açıdan bakmak, problem çözerken sonuç kadar sürecin de önemli olduğunu vurgulamak istedim. Daha çözülebilecek çok problem, keşfedilebilecek çok şey var. Onları da başka bir zamanda, başka bir yazıda inceleriz.