9. Sınıf Matematik Ders Kitabı Meb Yayınları Sayfa 128 Alıştırmalar Soruları ve Cevaplarını yazımızın devamından okuyabilirsiniz.
ALIŞTIRMALAR
1. Aşağıda verilen ifadeleri mutlak değer dışına çıkarınız.
a) x ∈ R ve x > 0 ise |5x + 7|
b) x ∈ R ve x < 0 ise |3a – |- a||
c) a, b ∈ R ve 0 < a < b ise |a – b| – |b – a|
ç) x, y ∈ R ve x < y < 0 ise |x + y| + |- x| – |y|
a) x ∈ R ve x > 0 ise |5x + 7| dışarı 5x+7 olarak çıkar çünkü x zaten pozitif bir sayıdır dolayısıyla 5x+7 de pozitiftir dışarı aynı şekilde çıkar.
b) x ∈ R ve x < 0 ise |3x – |- x||
I-xI dışarıya -x olarak çıkar çünkü x negatif bir sayıdır önüne – işareti gelince pozitif olur. I3x-(-x) I=I4xI oldu, I4xI dışarıya pozitif olması için -4x olarak çıkar
c) a, b ∈ R ve 0 < a < b ise |a – b| – |b – a|
(a-b) negatif bir sayıdır çünkü b a dan büyüktür.Bu yüzden Ia-bI dışarıya önüne – alarak b-a olarak çıkar.
(b-a) pozitif bir sayıdır çünkü b a dan büyüktür.Bu yüzden Ib-aI dışarıya pozitif olduğu için aynı şekilde çıkar b-a olur.
(b-a)-(b-a)=0 olur.
d) x, y ∈ R ve x < y < 0 ise |x + y| + |- x| – |y|
Ix+yI ifadesi x ve y negatif olduğu için negatif bir sayıdır ve mutlak değer dışına önüne – alarak çıkar -x-y olur
x negatif bir sayı olduğu için -x pozitif bir sayıdır bu yüzden I-xI ifadesi dışarıya aynı şekilde -x olarak çıkar
y negatif bir sayıdır bu yüzden IyI dışarıya önüne – alarak çıkar -y olur
-x-y-x-(-y)=-2x oldu
2. Aşağıda verilen mutlak değerli denklemlerin çözüm kümelerini bulunuz.
a) x ∈ R , |- 2x + 7| = 11
b) x ∈ R , |- 7x + 17| = -2
c) a ∈ R , |5a – 20| = 0
ç) b ∈ R , |- 3b| + |2b| – 20 = 0
a) Mutlak değerin içini önce 11’e daha sonra da -11’e eşitleyerek işlem yapacağız. Mutlak değer bütün sayıları pozitif yaptığından dolayı içindeki sayıların negatif olma ihtimalini de düşünmüş oluyoruz böylece.
-2x + 7 = 11
-2x = 4
x = -2
-2x + 7 = -11
-2x = -18
x =9
Bu işlemlerden anlarız ki x’in -2 ve 9 olmak üzere iki değeri olabilir.
b) Mutlak değerin eşit olduğu sayı hiçbir zaman negatif olamayacağı için x yerine hangi sayıyı yazarsak yazalım bu ifade sağlanamaz. Yani x değerini sağlayan elemanlar kümesi aslında bir boş kümedir.
c) Mutlak değerin içindeki sayı 0 ise eşit olduğu sayı da 0 olur. O halde;
5a – 20 = 0
5a = 20
a = 4 olmalıdır.
ç) Bu soruyu çözerken iki ihtimal için işlem yapmalıyız. b sayısı negatif veya pozitif olabilir. Her ikisini de değerlendirmeliyiz.
* b < 0
-3b -2b = 20
-5b = 20
b = -4
* b > 0
3b + 2b = 20
5b = 20
b = 4
Yaani b sayısı -4 veya +4 olabilir.
3. Aşağıda verilen mutlak değerli eşitsizliklerin çözüm kümelerini bulunuz.
a) x ∈ R , |5x – 5|< 10
b) a ∈ R , |7a – 13| < 0
c) a ∈ R , |6a – 12| < -7
ç) a ∈ R , |2a – 2| – 8 ≤ 0
d) x ∈ R , |x + 6| > 0
e) x ∈ R , 6 ≤ |x – 8| ≤ 10
a) |5x – 5| = 10
Mutlak değerin içinin negatif veya pozitif olmasına göre işlemi iki kere yapacağız.
* -5x + 5 =10
-5x = 15
x = -3
* 5x – 5 =10
5x = 15
x = 3
Bu sayılar mutlak değerin içini 0 yapan sayılardır. Yerine yazdığımızda 10’dan küçük gelmesi gerektiği için x çözüm kümesi (-3 , +3) olarak bulunur.
b) Bu ifade mutlak değerin sonucunun 0’dan küçük olmasını istiyor bizden. Ancak mutlak değer sonucu her zaman pozitif olduğu için bu ifade yanlıştır. x yerine yazılabilecek bir sayı yoktur. x kökleri boş kümeyi ifade eder diyebiliriz.
c) | x + 6| > 0
Mutlak değerin sonucu her zaman pozitiftir. Mutlak değer içini 0 yapan değer hariç tüm sayılar x değeri olabilir. Yani x “-6” hariç tüm sayılardır.
ç) Bu seçeneği değerlendirirken mutlak değer içindeki sayının negatif olması ihtimalini de düşüneceğiz. Şöyle düşünebiliriz; (x-8) sayısı mutlak değer içinde olduğu için dışarıya daima pozitif çıkacaktır. x yerine yazdığımız değer sonucu bu sayı 6 da olabilir -6 da olabilir ancak sonuç her zaman 6 olmalıdır.
* 6 ≤ x-8 ≤ 10
14 ≤ x ≤ 18
Bu işlemlerden x sayısı 14, 15, 16, 17 ve 18 çıkar.
* -6 ≥ x-8 ≥ -10
2 ≥ x ≥ -2
Bu işlemlerden de x sayısı 2, 1 , 0, -1 ve -2 olarak bulunur.
x yerine 10 tane sayı yazılabilir ve bu sayılar {-2,-1,0,1,2,14,15,16,17,18}’dir.
4. x ∈ R olmak üzere ||x – 4| – 6| = 2 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
5. x, y ∈ R olmak üzere |x – 3| < 5 ve 3x – y = 2 ise y nin alabileceği kaç farklı tam sayı değeri olduğunu bulunuz.
6. Sayı doğrusu üzerinde 7 ye olan uzaklığı 5 birimden fazla olmayan kaç tane tam sayı değerinin olduğunu bulunuz.
Bir sayı doğrusu üzerine tam sayıları yazdığımızı düşünelim. 7 noktasına olan uzaklığı 5 birimden fazla olmayan tam sayıları yani en fazla 5 birim olan sayıları tek tek işaretleyelim.
7-5 = 2
Sayı doğrusunda 7’ye 5 birim uzaklığındaki en küçük sayı 2’dir.
7+5 = 12
Sayı doğrusunda 7’ye 5 birim uzaklığındaki en büyük sayı 12’dir.
Soruda bizden istenen sayılar 2 ile 12 arasında kalan sayılardır. 2 ve 12 de bu sayılara dahildir.
2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 11, 12
Toplam 10 tane sayı vardır.
7. 2/|a – 2| > 1/3 eşitsizliğini sağlayan kaç farklı a tam sayısının olduğunu bulunuz (a nın 2 olamayacağına dikkat ediniz.).
Öncelikle her iki sayının da pay kısmını eşitleriz. Böylece paydalar arasında kıyaslama yapabiliriz.
Paydaya 2 değerini de yazamayacağımız için özellikle dikkat etmeliyiz. İşlemleri ekte bulabilirsin.
2 / (1a – 21) > 1 / 3
2 / (1a – 21) > 2 / 6
6 > 1a – 21
6 > a – 2 > -21
a = {7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0, -1, -2, -3}